Теорема Паппа о площадях

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. Теорема Пифагора занесена даже в Книгу рекордов Гиннеса за счет того, что у нее так много доказательств. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Как объяснить, например, столь исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора?

Существует ряд обобщений для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей, сводящихся к основному утверждению теоремы при рассмотрении прямоугольного треугольника.

Однако, когда такие авторы как Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно:. Существует предание, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. В научной литературе зафиксировано не менее 367 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата.

Прямая CI{\displaystyle CI} разбивает квадрат над гипотенузой на две равные части, поскольку треугольники △ABC{\displaystyle \triangle ABC} и △JHI{\displaystyle \triangle JHI} равны по построению. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Теорема Паппа о площадях

Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях. В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Но это, в свою очередь, означает, что если мы знаем два катета прямоугольного треугольника, то гипотенуза определена одним единственным образом, который мы и рассмотрим.

Доказательство Евклида

С другой стороны, этот квадрат состоит из 5 фигур: 4 треугольников и квадрата в центре. Вот, например, в Древней Индии использовали такой способ доказательства. И в этих одинаковых квадратах есть одинаковые фигуры. Даже в одном и том же положении. В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал».

Доказательство через равнодополняемость

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Своеобразна судьба иных теорем и задач… Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений). Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора. Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю. Когда речь идет о теореме Пифагора, необычное начинается уже с ее названия. Сомнительным полагают и то, что он дал ее доказательство. В этой второй речи он указывал на законность и на чистоту нравов, как на основы семейства; в следующих двух он обратился к детям и женщинам. Именно в такой формулировке доказывается эта теорема с помощью рисунков, приведенных на первой странице обложки.

В нижней части рисунка на катетах прямоугольного треугольника (белого) те же самые квадраты построены внешним образом. А вот еще одно доказательство, использующее равносоставленность. Два доказательства, использующих такую формулировку, мы сейчас и проведем.

Именно из такого рисунка исходил в своем доказательстве в XII веке индийский математик Бхаскари-Ачарна. Сокращая обе части равенства на k, получаем, как следствие, теорему Пифагора. Вероятно, за многие столетия со времени открытия теоремы Пифагора немало школьников получило плохие оценки за те или иные ошибки, допущенные при доказательстве.

Отсюда сразу следует справедливость теоремы Паппа. Много доказательств теоремы Пифагора, некоторые из которых исключительно изящны, вы можете найти в книге В. Литцмана «Теорема Пифагора».

4. По данным рисунка докажите, что четырехугольник КМNР – квадрат (эта задача особенно важна, так как такая же фигура, как на рисунке, используется для доказательства теоремы). Учитель: Сегодня мы изучаем одну из самых известных геометрических теорем древности, называемую теоремой Пифагора. Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КАРТИНКАХ

Попробуйте сами дать еще одну, современную формулировку теоремы Пифагора. Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Также может быть выражена как геометрический факт равенства площади треугольника, отложенного гипотенузы с суммой площадей треугольников, отложенных от катетов. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется. Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны.

Приведем теперь два обобщения теоремы Пифагора. То есть в нашем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников.

А также: