Деление корней

С корня в квадрате. Из множителей корни ровно не извлекаются. Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. И все эти возможностивытекают из одной небольшого свойства корней. А как из двойки корень сделать? Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет… Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Формула умножения корней всё равно работает. Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения. Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше!

Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей… Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался.

В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали? А то попадётся задание — «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают…) Вот вам ещё одно применение свойства корней.

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Одно — простое, второе — не очень. Но разобраться с ними можно и нужно. Оба этих свойства — в следующем уроке. Там же — примеры для тренировки. Там же описана одна тупая, но очень популярная ошибка в корнях, после которой люди бьют себя по голове и страшно ругаются…

И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения.

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд!

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата.

Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем.

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.

Как вынести множитель из-под корня?

Прямо по формуле. А из результата — отлично! Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Безо всякого их вычисления и калькулятора! Какое из них больше? Так сразу и не скажешь… Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево.

Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Мы же умеем корень из произведения извлекать. Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение.

А также: